Question

4．设a∈R，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+a，x≥0}\\{g（x），x＜0}\end{array}\right.$为奇函数，则a=-1，f（x）+3=0的解为-2．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，则2⁰+a=1+a=0，得a=-1，
若x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=2^-x-1=-f（x），
则f（x）=1-2^-x，x＜0，
即g（x）=1-2^-x，x＜0，
由f（x）+3=0得f（x）=-3，
若x≥0，由f（x）=-3得2^x-1=-3，得2^x=-2，此时方程无解，
若x＜0，由f（-x）=-3得1-2^-x=-3，
得2^-x=4，即-x=2，得x=-2，
故答案为：-2

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质建立方程关系是解决本题的关键．