Question

13．已知f（x）=2x+3-$\frac{ln（2x+1）}{2x+1}$．
（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）求函数的导数，利用函数极值和导数的关系即可证明当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）判断函数的单调性，根据函数的单调性和值域之间的关系转化为f（x）=x有两个不同的解，构造函数，利用数形结合进行判断即可．

解答 解：（I）由2x+1＞0得x＞-$\frac{1}{2}$，
函数的导数f′（x）=2-$\frac{\frac{2}{2x+1}×（2x+1）-2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$=2-$\frac{2-2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$=$\frac{2（2x+1）^{2}-2+2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$
=$\frac{8{x}^{2}+8x+2ln（2x+1）}{（2x+1）^{2}}$，
设g（x）=8x²+8x+2ln（2x+1），
则g′（x）=16x+8+$\frac{4}{2x+1}$=8（2x+1）+$\frac{4}{2x+1}$，
∵2x+1＞0，
∴g′（x）＞0，
即g（x）在x＞-$\frac{1}{2}$上为增函数，
∵g（0）=0，
∴当x＞0时，g（x）＞g（0）=0，此时f′（x）＞0，函数f（x）递增，
当x＜0时，g（x）＜g（0）=0，此时f′（x）＜0，函数f（x）递减，
故当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x＞0时，函数f（x）递增，
若存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即m，n是方程f（x）=x的两个不同的根，
即2x+3-$\frac{ln（2x+1）}{2x+1}$=x，
则x+3=$\frac{ln（2x+1）}{2x+1}$．
即（x+3）（2x+1）=ln（2x+1），
设y=（x+3）（2x+1），y=ln（2x+1），
作出两个函数的图象，
由图象知当x＞-$\frac{1}{2}$时，两个函数没有交点，
即方程f（x）=x不存在两个不同的根，
即不存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]．

点评 本题主要考查导数的综合应用，利用函数与导数的关系，构造函数是解决本题的关键．综合考查函数的性质和导数的应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．