Question

9．已知f（x）=4sinαcosα-5sinα-5cosα．
（1）若f（x）=1，求sinα+cosα的值；
（2）当$α∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）令sinα+cosα=t，换元平方得2sinα•cosα=t²-1，由此利用二次函数和三角函数的性质能求出sinα+cosα的值．
（2）令t=sinα+cosα，推导出$t∈[{1，\sqrt{2}}]$，由此利用二次函数性质能求出f（x）的值域．

解答 解：（1）令sinα+cosα=t，换元平方得2sinα•cosα=t²-1，
∵f（x）=1，∴2（t²-1）-5t=1，
即2t²-5t-3=0，解得$t=-\frac{1}{2}或t=3$
又∵$t=sinα+cosα=\sqrt{2}sin（{α+\frac{π}{4}}）∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$，
∴$t=-\frac{1}{2}，即sinα+cosα=-\frac{1}{2}$
（2）令t=sinα+cosα，
∵$sinα+cosα=\sqrt{2}sin（{α+\frac{π}{4}}），α∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$α+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]，sin（{α+\frac{π}{4}}）∈[{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1}]$，
即$t∈[{1，\sqrt{2}}]$，
∴$f（x）=2{t^2}-5t-2，t∈[{1，\sqrt{2}}]$，
由二次函数图象可知：$f（x）∈[{-\frac{41}{8}，-5}]$．

点评 本题考查函数值和函数的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意换元法的合理运用．