Question

12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象过点P（$\frac{π}{12}$，0），图象上与点P最近的一个最高点是Q（$\frac{π}{3}$，5），则函数f（x）的一个单调递增区间为（　　）

• A． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]
• B． [-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]
• C． [-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]
• D． [0，$\frac{π}{3}$]

Answer 1

分析 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$即可解得函数的增区间，比较各个选项即可得解．

解答 解：由题意可得A=5，$\frac{1}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$$-\frac{π}{12}$，求得ω=2，
∴y=5sin（2x+φ），
将 （$\frac{π}{3}$，5）代入解析式得：5=5sin（$\frac{2π}{3}$+φ），
∴$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
∴φ=-$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
令k=0，则有φ=-$\frac{π}{6}$，
∴y=5sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]．k∈Z．
∴k=0时，函数的增区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．比较各个选项可得函数f（x）的一个单调递增区间为[0，$\frac{π}{3}$]．
故选：D．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查．