Question

6．某建筑工地在施工过程中，为了保护一口直径为1米的圆形古井M，决定将其围起来，工地上现有一块长为2米（宽为1.2米）的木工板AB可利用，现将其围成高1.2米的围挡，如图，圆M与AB，PA，PB（PA，PB为另外两侧的围挡）均相切．
（1）若PA=PB，计算△PAB的面积；
（2）问：至少还需要添置多长的木工板．

Answer 1

分析 （1）如图所示，设C，D，E分别为切点，设PD=x，OD=$\frac{1}{2}$，AC=BC=1．则OP=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{x}^{2}}$．可得S_△APB=$\frac{1}{2}PC•AB$=$\frac{1}{2}$•OD•（PA+PB+AB），解出即可得出．
（2）设AC=x，BC=y，PD=z，则x+y=2，S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+2z）=$\frac{1}{2}$（2+z），另一方面：S_△PAB=$\sqrt{p[p-（x+y）][p-（x+z）][p-（y+z）]}$，其中p=$\frac{2+x+y+2z}{2}$=2+z．化简整理即可得出．

解答 解：（1）如图所示，
设C，D，E分别为切点，
设PD=x，OD=$\frac{1}{2}$，AC=BC=1．
则OP=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+{x}^{2}}$．
∴S_△APB=$\frac{1}{2}PC•AB$=$\frac{1}{2}$•OD•（PA+PB+AB），
∴$（\sqrt{\frac{1}{4}+{x}^{2}}+\frac{1}{2}）$•2=$\frac{1}{2}×$（2x+2+2），
化为：3x²-2x=0，
解得x=$\frac{2}{3}$．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$（\frac{4}{3}+4）$=$\frac{4}{3}$．
（2）设AC=x，BC=y，PD=z，则x+y=2，
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×（4+2z）=$\frac{1}{2}$（2+z），
另一方面：S_△PAB=$\sqrt{p[p-（x+y）][p-（x+z）][p-（y+z）]}$=$\sqrt{（2+z）z（2-x）（2-y）}$=$\sqrt{（2+z）zxy}$．其中p=$\frac{2+x+y+2z}{2}$=2+z．
∴$\frac{1}{2}$（2+z）=$\sqrt{（2+z）zxy}$，
化为$\frac{1}{4}$$（\frac{2}{z}+1）$=xy≤$（\frac{x+y}{2}）^{2}$=1．
解得z$≥\frac{2}{3}$．
PA+PB=x+z+y+z=2+2z≥$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了直线与圆相切、三角形的内切圆的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．