Question

16．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，且在（0，1）上f（x）=3^x，则f（log₃54）=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． -$\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和函数的解析式，逐步转化由运算性质求出f（log₃54）的值．

解答 解：由f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$得，f（x+4）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
所以函数f（x）的周期是4，
因为f（x）定义在R上的奇函数，且3＜log₃54＜4，
且在（0，1）上f（x）=3^x，
所以f（log₃54）=f（log₃54-4）=-f（4-log₃54）
=-（${3}^{4-lo{g}_{3}^{54}}$）=-$\frac{81}{54}$=-$\frac{3}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查函数值的求法，对数函数的性质、运算性质，及函数的周期性、奇函数的性质的综合应用，利用条件求出函数的周期、以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的关键．