Question

5．已知数列{a_n}满足：a₁=c，2a_n+1=a_n+l（c≠1，n∈N^*），记数列{a_n}的前n项和为S_n．
（I）令b_n=a_n-l，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）求最小的实数c，使得对任意n∈N^*，都有S_n≥3成立．

Answer 1

分析 （I）化简可得2（a_n+1-1）=a_n-1，从而可证明数列{b_n}是以c-1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（I）知b_n=（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=a_n-1，从而解得a_n=1+（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，从而求其前n项和，从而化为函数的最值问题．

解答 解：（I）证明：∵2a_n+1=a_n+l，
∴2a_n+1-2=a_n-1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，
∴2b_n+1=b_n，
且b₁=a₁-l=c-1≠0，
故数列{b_n}是以c-1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（I）解得，b_n=（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=a_n-1，
故a_n=1+（c-1）•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
故S_n=$\sum_{i=1}^{n}{a}_{i}$=$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{c-1}{{2}^{i-1}}$+1）=（c-1）（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）+n；
∵对任意n∈N^*，都有S_n≥3成立．
∴（c-1）（2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）+n≥3对任意n∈N^*都成立，
即对任意n∈N^*，2（c-1）≥$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$恒成立，
∵当n≥3时，$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$≤0，
∴当n=1时，$\frac{3-n}{1-\frac{1}{{2}^{n}}}$取到最大值4，
∴2（c-1）≥4，
故c≥3．

点评 本题考查了构造法的应用及等比数列的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用．