Question

13．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的一个顶点A（0，1），离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆E交于M、N两点．若在x轴上存在点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，试求出m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，从而求椭圆的方程；
（Ⅱ） 由已知直线的斜率k存在且k≠0；从而联立消元（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，从而化简求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，
b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故a²=2，
故所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ） 由已知直线的斜率k存在且k≠0；
设：y=k（x-1），与$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1联立消元得，
（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=8（k²+1）＞0；
设M（x₁，y₁），N（x₁，y₂），
故x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$；
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），
∵$\overrightarrow{PM}$=（x₁-m，y₁），$\overrightarrow{PN}$=（x₂-m，y₂），
∴$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂），
$\overrightarrow{MN}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），
在x轴上存在动点P（m，0），使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，
由于对角线互相垂直，
故（$\overrightarrow{PM}$+$\overrightarrow{PN}$）•$\overrightarrow{MN}$=0，
故（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）•（x₂-x₁，y₂-y₁）=0，
化简可得，x₁+x₂-2m+k²（x₁+x₂-2）=0，
即k²（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2）+$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2m=0，
故m=$\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$＞0，又
m=$\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$＜$\frac{1}{2}$；
故m∈（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用．