Question

3．已知A（-2，0），B（2，0）为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，离心率e=$\frac{1}{2}$，P是椭圆C上异于A，B的动点．
（1）求证：k_PA•k_PB为定值；
（2）过点Q（1，0）作两条互相垂直的直线l₁，l₂，分别交曲线C于E，F，G，H，求四边形EFGH面积的最小值及取得最小值时直线l₁，l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得c=1，由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程，设出P的坐标，代入椭圆方程，再由斜率公式，即可得证；
（2）分斜率存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，运用基本不等式可得最值，即可求得结论．

解答 解：（1）证明：由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
设P（m，n），即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，即$\frac{{n}^{2}}{3}$=-$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，
则k_PA•k_PB=$\frac{n}{m+2}$•$\frac{n}{m-2}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$；
（2）由直线l₁，l₂垂直．
（ⅰ）若l₁，l₂中一条斜率不存在，另一条斜率为0，
则四边形EFGH的面积S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2b²=6；
（ⅱ）若l₁，l₂的斜率均存在，
设l₁：y=k（x-1）与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$，
消去y可得（3+4k²）x-8k²x+4k²-12=0，
由（1，0）为椭圆的焦点，则△＞0，
设E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴|EG|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{4}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$；
同理可得|FH|=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|EG|•|FH|=72•$\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{12{k}^{4}+25{k}^{2}+12}$=$\frac{72}{12+\frac{{k}^{2}}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}}$=$\frac{72}{12+\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$，
由k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，（k=±1）时取得等号），
可得$\frac{288}{49}$≤S＜6．
由（ⅰ）（ⅱ）知，S_min=$\frac{288}{49}$，S_max=6．
故面积取得最小值$\frac{288}{49}$，直线l₁，l₂的方程分别为y=x-1，y=-x+1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确表示四边形EFGH的面积是关键．