Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，短轴的一个端点到右焦点的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设倾斜角为30°的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，再由离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设倾斜角为30°的直线l为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+t，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再由点到直线的距离公式，求得t，代入计算即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得b=1，c=$\sqrt{2}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设倾斜角为30°的直线l为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+t，
代入椭圆方程x²+3y²=3，
可得2x²+2$\sqrt{3}$tx+3t²-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-$\sqrt{3}$t，x₁x₂=$\frac{3{t}^{2}-3}{2}$，
可得弦长|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$•$\sqrt{3{t}^{2}-2（3{t}^{2}-3）}$
=2$\sqrt{2-{t}^{2}}$，
由坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得
$\frac{|t|}{\sqrt{1+\frac{1}{3}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得t=±$\frac{2}{3}$，
可得弦长AB为2$\sqrt{2-\frac{4}{9}}$=$\frac{2\sqrt{14}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．