Question

13．下列命题正确的是（2）（5）
（1）若$\overrightarrow{a}$≠$\overrightarrow{o}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$；
（2）对任一向量$\overrightarrow{a}$，有$\overrightarrow{{a}^{2}}$=|$\overrightarrow{a}$|²；
（3）若$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，则，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$中至少有一个为$\overrightarrow{0}$；
（4）|$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|；
（5）$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是两个单位向量，则$\overrightarrow{{a}^{2}}$=$\overrightarrow{{b}^{2}}$；
（6）若|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（7）（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$）对任意向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$都成立．

Answer 1

分析 根据数量积的计算公式，单位向量的概念，以及向量夹角的概念，相等向量的概念便可判断出每个命题的正误，从而找出正确命题的序号．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$不一定相等，∴该命题错误；
（2）${\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|cos0=|\overrightarrow{a}{|}^{2}$，∴该命题正确；
（3）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$时，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$可都不为0，只要$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=90°$，也能得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos90°=0$，∴该命题错误；
（4）$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|$，而$|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|$不一定等于1；
∴$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$不一定成立，∴该命题错误；
（5）单位向量的长度为1，从而${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}=1$，∴该命题正确；
（6）若$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|$，则${\overrightarrow{a}}^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞+{\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1$，或$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$，或$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$；
即不一定得到$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴该命题错误；
（7）当$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$方向不同，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≠0，\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}≠0$时，显然$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）\overrightarrow{c}≠\overrightarrow{a}（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$，∴该命题错误；
∴正确命题的序号为：（2）（5）．
故答案为：（2）（5）．

点评 考查向量数量积的计算公式，向量垂直的概念及垂直的充要条件，以及单位向量的概念，向量数乘的几何意义，相等向量的概念．