Question

19．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且过点（0，$\sqrt{3}$）．
（I）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）椭圆的左顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂，已知直线l与椭圆交于P，Q两点（点P在第一象限），线段PQ的中点为M，线段PQ的中垂线交x轴于点N，若P，M，N，F₂四点共圆，且$\overrightarrow{AN}$=$\frac{9}{5}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合隐含条件得到关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b，c的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AN}$=$\frac{9}{5}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$求得N点坐标，再由P，M，N，F₂四点共圆得到PF₂⊥NF₂，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出PQ中点的坐标，结合MN与直线l垂直求得直线的斜率得答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）如图，
由题意方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得A（-2，0），F₁（-1，0），
设N（m，0），则$\overrightarrow{AN}=（m+2，0）$，$\overrightarrow{{F}_{1}N}=（m+1，0）$，
由$\overrightarrow{AN}$=$\frac{9}{5}$$\overrightarrow{{F}_{1}N}$，得（m+2，0）=$\frac{9}{5}（m+1，0）$，解得N（$\frac{1}{4}，0$），
又P，M，N，F₂四点共圆，且PM⊥MN，可得PF₂⊥NF₂，
则P（1，$\frac{{b}^{2}}{a}$）=P（1，$\frac{3}{2}$），
设直线l的方程为y-$\frac{3}{2}=k（x-1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-\frac{3}{2}=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-（8k²-12k）x+4k²-12k-3=0．
∵M为PQ的中点，∴M（$\frac{4{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{9-6k}{2（3+4{k}^{2}）}$），
∴${k}_{MN}=\frac{\frac{9-6k}{2（3+4{k}^{2}）}}{\frac{4{k}^{2}-6k}{3+4{k}^{2}}-\frac{1}{4}}=\frac{6-4k}{4{k}^{2}-8k-1}$，
由$\frac{6-4k}{4{k}^{2}-8k-1}•k=-1$，得k=-$\frac{1}{2}$．
∴直线l的方程为y-$\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}（x-1）$，即x+2y-4=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆标准方程的求法，对于（Ⅱ）的求解，能由P，M，N，F₂四点共圆得到PF₂⊥NF₂是解答该题的关键，是中档题．