Question

9．对于2×2的方阵，定义如下的乘法：
$[\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}]$×$[\begin{array}{l}{e}&{f}\\{g}&{h}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{ae+bg}&{af+bh}\\{ce+dg}&{cf+dh}\end{array}]$，并设$[\begin{array}{l}{1}&{4}\\{2}&{3}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{a}_{1}}&{{b}_{1}}\\{{c}_{1}}&{{d}_{1}}\end{array}]$，$[\begin{array}{l}{1}&{4}\\{2}&{3}\end{array}]$×$[\begin{array}{l}{{a}_{n}}&{{b}_{n}}\\{{c}_{n}}&{{d}_{n}}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{a}_{n+1}}&{{b}_{n+1}}\\{{c}_{n+1}}&{{d}_{n+1}}\end{array}]$（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）证明：数列{a_n+2c_n}是等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数λ，使得数列{a_n-λ•5ⁿ}为等比数列，列，并求出{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知，a_n+1=a_n+4c_n，①，c_n+1=2a_n+3c_n，②，由①+②×2得，a_n+1+2c_n+1=5（a_n+2c_n），即可证明数列{a_n+2c_n}是等比数列，
（Ⅱ）由①-②得，得到数列{a_n-c_n}是以-1为首项，以-1为等比的等比数列，分别求出a_n-c_n=（-1）ⁿ，③，a_n+2c_n=5ⁿ，④，
即可求出λ=$\frac{1}{3}$，求出通项公式即可．

解答 证明：（Ⅰ）由题意可知，a_n+1=a_n+4c_n，①，c_n+1=2a_n+3c_n，②
由①+②×2得，a_n+1+2c_n+1=5（a_n+2c_n），a₁+2c₁=1+2×2=5，
∴数列{a_n+2c_n}是以5为首项，以5为等比的等比数列，
（Ⅱ）由①-②得，a_n+1-c_n+1=-a_n+c_n=-（a_n-c_n），a₁-c₁=1-2=-1，
∴数列{a_n-c_n}是以-1为首项，以-1为等比的等比数列，
∴a_n-c_n=-1×（-1）^n-1=（-1）ⁿ，③
由（Ⅰ）知a_n+2c_n=5×5^n-1=5ⁿ，④，
由③×2+④得，3a_n=5ⁿ+2（-1）ⁿ，
∴a_n-$\frac{1}{3}$×5ⁿ=$\frac{2}{3}$×（-1）ⁿ=-$\frac{2}{3}$×（-1）^n-1，
∴存在实数λ=$\frac{1}{3}$，使得数列{a_n-$\frac{1}{3}$•5ⁿ}为等比数列，
∴a_n-$\frac{1}{3}$×5ⁿ=$\frac{2}{3}$×（-1）ⁿ+$\frac{1}{3}$×5ⁿ．

点评 本题考查了等比数列的定义，以及新定义的问题，关键是构造方程，属于中档题．