Question

5．某市气象部门对该市中心城区近4年春节期间（每年均统计春节假期的前7天）的空气污染指数进行了统计分析，且按是否燃放鞭炮分成两组，得到如图的茎叶图，根据国家最新标准，空气污染指数不超过100的表示没有雾霾，超过100的表示有雾霾．
（Ⅰ）若从茎叶图有雾霾的14天中随机抽取2天，用随机变量ξ表示被抽中且未燃放鞭炮的天数，求ξ的分布列及数学期望；
（Ⅱ）通过茎叶图填写下面的2×2列联表，并判断有多大的把握可以认为燃放鞭炮与产生雾霾有关？

	燃放	未燃放	合计
有雾霾
无雾霾
合计

附：独立性检验卡方统计量：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d为样本容量；
独立性检验临界值表：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算随机变量ξ的所有可能的取值以及对应的概率值，列出ξ的分布列，计算ξ的数学期望；
（Ⅱ）通过茎叶图填写2×2列联表，计算观测值，对照数表得出概率结论．

解答 解：（Ⅰ）随机变量ξ的所有可能的取值为0，1，2；
相应的概率分别为P（ξ=0）=$\frac{{C}_{12}^{2}{•C}_{2}^{0}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{66}{91}$；
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{24}{91}$；
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{12}^{0}{•C}_{2}^{2}}{{C}_{14}^{2}}$=$\frac{1}{91}$；
所以随机变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{66}{91}$	$\frac{24}{91}$	$\frac{1}{91}$

随机变量ξ的数学期望是Eξ=0×$\frac{66}{91}$+1×$\frac{24}{91}$+2×$\frac{1}{91}$=$\frac{2}{7}$；
（Ⅱ）通过茎叶图填写2×2列联表如下，

	燃放	未燃放	合计
有雾霾	12	2	14
无雾霾	6	8	14
合计	18	10	28

计算观测值K²=$\frac{28{×（12×8-6×2）}^{2}}{18×10×14×14}$=$\frac{28}{5}$=5.6＞5.024，
所以至少有97.5%的把握认为该城市燃放鞭炮与产生雾霾天气有关．

点评 本题考查了对立性检验的应用问题，也考查了随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题目．