Question

10．设函数f（x）=|x-3|+|x+7|．
（1）解不等式：f（x）＜16；
（2）若存在x₀∈R，使f（x₀）＜a，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的意义求出方程的根即可；（2）将f（x）写成分段函数的形式，从而求出f（x）的最小值，进而求出a的范围即可．

解答 解：（1）利用数形结合易知：方程|x-3|+|x+7|=16的两根为x₁=-10，x₂=6，
∴不等式f（x）=|x-3|+|x+7|＜16的解集为（-10，6），
注：用零点分段法亦可．
（2）∵f（x）=|x-3|+|x+7|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-4，（x＜-7）}\\{10，（-7≤x≤3）}\\{2x+4，（x＞3）}\end{array}\right.$，
∴当x∈[-7，3]时，f（x）_min=10；
∴依题意知：实数a的取值范围为a＞10，即a∈（10，+∞）．

点评 本题考查了绝对值的意义，函数的最值问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．