Question

1．在等比数列{a_n}中，a₂=3，a₅=81，b_n=1+2log₃a_n．
（1）求数列{b_n}的前n项的和；
（2）已知数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前项的和为S_n，证明：${S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₂=3，a₅=81，
∴a₁q=3，${a}_{1}{q}^{4}$=81，联立解得q=3，a₁=1．
∴a_n=3^n-1．
b_n=1+2log₃a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴数列{b_n}的前n项的和=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（2）$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴S_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．