Question

20．已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，且该椭圆经过点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）和点$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1）$．求
（1）椭圆C的方程；
（2）P，Q，M，N四点在椭圆C上，F₁为负半轴上的焦点，直线PQ，MN都过F₁且$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{Q{F_1}}=0$，求四边形PMQN的面积最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意，设椭圆的方程为mx²+ny²=1（m，n＞0，m≠n），代入两点的坐标，建立方程组，从而可求椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）分斜率存在与存在分别讨论，利用直线与椭圆联立，根据韦达定理及弦长公式，确定面积的表达式，运用基本不等式可得最值，即可求得结论．

解答 解：（1）由题意，设椭圆的方程为mx²+ny²=1（m，n＞0，m≠n），
代入点（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）和点$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1）$，可得
$\frac{1}{4}$m+$\frac{3}{2}$n=1，$\frac{1}{2}$m+n=1，
解得m=1，n=$\frac{1}{2}$，
即有椭圆方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由$\overrightarrow{M{F_1}}•\overrightarrow{Q{F_1}}=0$，可得直线PQ，MN垂直．
（ⅰ）若MN与PQ中一条斜率不存在，另一条斜率为0，
则四边形PMQN的面积S=$\frac{1}{2}$•2a•$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2b²=2；
（ⅱ）若PQ与NM的斜率均存在，
设PQ：y=kx+1与椭圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$
消去y可得（2+k²）x+2kx-1=0，则△=8（k²+1）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{2k}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{1}{2+{k}^{2}}$，
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}}{（2+{k}^{2}）^{2}}+\frac{4}{2+{k}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{1+{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$；
同理可得|MN|=2$\sqrt{2}$•$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|MN|=4•$\frac{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{2{k}^{4}+5{k}^{2}+2}$=$\frac{4}{2+\frac{{k}^{2}}{{k}^{4}+2{k}^{2}+1}}$=$\frac{4}{2+\frac{1}{{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+2}}$，
由k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$≥2，得$\frac{16}{9}$≤S＜2．
由（ⅰ）（ⅱ）知，S_min=$\frac{16}{9}$，S_max=2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，正确表示四边形PMQN的面积是关键．