Question

8．设椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，椭圆上一点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆交于A，B两点，且AB中点为$M（{-1，\frac{1}{2}}）$，求直线l方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，再由离心率公式和a，b，c的关系，求得b，进而得到椭圆方程；
（2）判断中点M在椭圆内，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，运用作差法和中点坐标公式及斜率公式可得直线l的斜率，再由点斜式方程可得直线的方程．

解答 解：（1）由点A到椭圆C两焦点的距离之和为4，
由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得c=$\sqrt{2}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）中点M代入椭圆方程，可得$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$＜1，
即M在椭圆内，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，
两式相减可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中点坐标公式可得x₁+x₂=-2，y₁+y₂=1，
可得直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{-2}{2}$=1，
即有直线l的方程为y-$\frac{1}{2}$=x+1，
即为2x-2y+3=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查中点弦方程的求法，注意运用点差法和中点坐标公式及斜率公式，考查运算能力，属于中档题．