Question

18．求函数y=$\frac{x+1}{（x+5）（x+2）}$（x＞-1）的最大值．

Answer 1

分析 利用换元法x+1=t，t＞0；从而化简y=$\frac{x+1}{（x+2）（x+5）}$为y=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$，从而利用基本不等式求其最值．

解答 解：令x+1=t，t＞0；
则y=$\frac{x+1}{（x+5）（x+2）}$=$\frac{t}{（t+1）（t+4）}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$，
∵t+$\frac{4}{t}$≥4，
（当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2，x=1时，等号成立），
∴$\frac{1}{t+\frac{4}{t}+5}$≤$\frac{1}{9}$，
故y=$\frac{x+1}{（x+5）（x+2）}$（x＞-1）的最大值为$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及基本不等式在求最值中的应用，同时考查了换元法的应用．