Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosB=2a-b．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若$c=\sqrt{3}$，b-a=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和余弦定理可得a²+b²-c²=ab，再由余弦定理可得cosC，可得角C；
（Ⅱ）由已知数据和余弦定理可解得ab的值，代入三角形的面积公式可得．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由2ccosB=2a-b和余弦定理可得$2c\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=2a-b$，
∴a²+b²-c²=ab，∴$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），∴$C=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$C=\frac{π}{3}$，$c=\sqrt{3}$，∴由余弦定理可得a²+b²-ab=3，
又∵b-a=1，∴a²+a-2=0，∴a=1或a=-2（舍去），
∴a=1，b=2，$c=\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题．