Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若sin（A-B）+sinC=$\sqrt{2}$sinA．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若b=2，求a²+c²的最大值，并求取得最大值时角A，C的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式化简可得2sinAcosB=$\sqrt{2}$sinA，由于sinA≠0，即可解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可求得B的值．
（Ⅱ）由余弦定理及基本不等式可得：a²+c²-$\sqrt{2}$ac=4，且ac≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，从而可得4≥（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（a²+c²），即可解得a²+c²的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，∵由已知及C=π-（A+B）可得：
sin（A-B）+sinC=sin（A-B）+sin（A+B）
=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB
=2sinAcosB=$\sqrt{2}$sinA…3分
∵A是三角形的内角，sinA≠0，
∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…4分
∴由B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{4}$…5分
（Ⅱ）∵由余弦定理可得：a²+c²-$\sqrt{2}$ac=4，且ac≤$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2}$，…7分
∴4=a²+c²-$\sqrt{2}$ac≥（a²+c²）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（a²+c²）=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）（a²+c²），…9分
∴a²+c²≤$\frac{4}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8$+4\sqrt{2}$（当且仅当a=c时，等号成立），…11分
∴当A=C=$\frac{3π}{8}$时，a²+c²的最大值是8$+4\sqrt{2}$…12分

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，两角和与差的正弦函数公式，余弦定理及基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．