Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右顶点A（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点$M（\frac{3}{2}，0）$的直线l交椭圆于B、D两点，设直线AB斜率为k₁，直线AD斜率为k₂．求证：k₁k₂为定值，并求此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右顶点A（2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为$x=my+\frac{3}{2}$，与椭圆联立，得$（{m^2}+4）{y^2}+3my-\frac{7}{4}=0$，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能证明k₁k₂为定值，并能求出此定值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右顶点A（2，0），
∴由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\ a=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=2.\\ b=1\\ c=\sqrt{3}.\end{array}\right.$
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．…（4分）
证明：（Ⅱ）由题意知直线l斜率不为0，可设直线l方程为$x=my+\frac{3}{2}$，
与$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$联立，得$（{m^2}+4）{y^2}+3my-\frac{7}{4}=0$，
△=9m²+7（m²+4）＞0，设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则${y_1}+{y_2}=\frac{-3m}{{{m^2}+4}}，{y_1}{y_2}=\frac{{-\frac{7}{4}}}{{{m^2}+4}}$…（8分）
${k_1}{k_2}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（{x_1}-2）（{x_2}-2）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{（m{y_1}-\frac{1}{2}）（m{y_2}-\frac{1}{2}）}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{m^2}{y_1}{y_2}-\frac{1}{2}m（{y_1}+{y_2}）+\frac{1}{4}}}$
=$\frac{{-\frac{7}{4}}}{{-\frac{7}{4}{m^2}+\frac{3}{2}{m^2}+\frac{1}{4}（{m^2}+4）}}=-\frac{7}{4}$．
∴k₁k₂为定值，定值为$-\frac{7}{4}$…（12分）

点评 本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理的合理运用．