Question

10．如图，椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$和圆C₂：x²+y²=b²，已知圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，且圆C₂的面积为π．椭圆C₁的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C₂相交于点A，B，直线EA，EB与椭圆C₁的另一个交点分别是点P，M．
（I）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）求△EPM面积最大时直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圆的面积公式可得b=1，再由三等分可得a=3b=3，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx-1，
代入椭圆方程求得P，M的坐标，再由直线和圆方程联立，求得A的坐标，直线AB的斜率，求得△EPM的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值，进而得到所求直线的斜率，可得直线方程．

解答 解：（Ⅰ）由圆C₂的面积为π，得：b=1，
圆C₂将椭圆C₁的长轴三等分，可得a=3b=3，
所以椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（Ⅱ）由题意得：直线PE，ME的斜率存在且不为0，PE⊥EM，
不妨设直线PE的斜率为k（k＞0），则PE：y=kx-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{18k}{1+9{k}^{2}}}\\{y=\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以P（$\frac{18k}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{9{k}^{2}-1}{9{k}^{2}+1}$），同理得M（$\frac{-18k}{{k}^{2}+9}$，$\frac{9-{k}^{2}}{9+{k}^{2}}$），
k_PM=$\frac{{k}^{2}-1}{10k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得A（$\frac{2k}{1+{k}^{2}}$，$\frac{{k}^{2}-1}{{k}^{2}+1}$），所以：k_AB=$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$，
所以${S_{△EPM}}=\frac{1}{2}|{PE}|•|{EM}|=\frac{{162（k+{k^3}）}}{{9{k^4}+82{k^2}+9}}=\frac{{162（k+\frac{1}{k}）}}{{9{k^2}+82+\frac{9}{k^2}}}$，
设$t=k+\frac{1}{k}$，则${S_{△EPM}}=\frac{162t}{{9{t^2}+64}}=\frac{162}{{9{t^{\;}}+\frac{64}{t}}}≤\frac{27}{8}$，
当且仅当$t=k+\frac{1}{k}=\frac{8}{3}$时取等号，所以k-$\frac{1}{k}$=±$\frac{2}{3}$$\sqrt{7}$，
则直线AB：y=$\frac{{k}^{2}-1}{2k}$x=$\frac{1}{2}$（k-$\frac{1}{k}$）x，
所以所求直线l方程为：$y=±\frac{{\sqrt{7}}}{3}x$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用圆的面积和三等分思想，考查直线方程的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，以及直线和圆方程联立，求得交点，以及直线的斜率，运用基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．