Question

1．已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足6S_n=a_n²+3a_n+2，且a₂是a₁和a₆的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log₂3]=1，[log₂5]=2．记${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+5}}{3}]$，求数列$\{{2^n}•{b_{2^n}}\}$的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）由6S_n=a_n²+3a_n+2，当n≥2时，$6{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}$+2，可得：6a_n=${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-3a_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，根据数列{a_n}是正项数列，及其等差数列的通项公式、a₂是a₁和a₆的等比中项即可得出．
（II）${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+5}}{3}]$=[log₂（n+1）]，可得${b}_{{2}^{n}}$=$[lo{g}_{2}（{2}^{n}+1）]$=n，${2}^{n}•{b}_{{2}^{n}}$=n•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）由6S_n=a_n²+3a_n+2，当n≥2时，$6{S}_{n-1}={a}_{n-1}^{2}+3{a}_{n-1}$+2，可得：6a_n=${a}_{n}^{2}$-${a}_{n-1}^{2}$+3a_n-3a_n-1，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵数列{a_n}是正项数列，∴a_n+a_n-1＞0，可得a_n-a_n-1=3，
∴数列{a_n}是等差数列，公差为3．
由6a₁=${a}_{1}^{2}$+3a₁+2，解得a₁=1或2．
当a₁=2时，a_n=2+3（n-1）=3n-1，可得a₂=5，a₆=17，不满足a₂是a₁和a₆的等比中项，舍去．
当a₁=1时，a_n=1+3（n-1）=3n-2，可得a₂=4，a₆=16，满足a₂是a₁和a₆的等比中项．
∴a_n=3n-2．
（II）${b_n}=[{log_2}\frac{{{a_n}+5}}{3}]$=[log₂（n+1）]，∴${b}_{{2}^{n}}$=$[lo{g}_{2}（{2}^{n}+1）]$=n，
∴${2}^{n}•{b}_{{2}^{n}}$=n•2ⁿ．
∴数列$\{{2^n}•{b_{2^n}}\}$的前n项和T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2×$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．