Question

15．设函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，且?x∈R，满足f（x-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{1}{2}$），当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈[-2，0]时，f（x）=（　　）

• A． |x+4|
• B． |2-x|
• C． 2+|x+1|
• D． 3-|x+1|

Answer 1

分析 根据函数奇偶性条件推出函数是周期为2的周期函数根据函数周期性和对称性进行转化求解即可．

解答 解：∵?x∈R，满足f（x-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{1}{2}$），
∴?x∈R，满足f（x+$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$），
即f（x）=f（x+2），
若x∈[0，1]时，则x+2∈[2，3]，
f（x）=f（x+2）=x+2，x∈[0，1]，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
∵函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，
∴f（-x）=-x+2=f（x），
即f（x）=-x+2，x∈[-1，0]，
若x∈[-2，-1]，则x+2∈[0，1]，
则f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，x∈[-2，-1]，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+4，}&{-2≤x＜-1}\\{-x+2，}&{-1≤x≤0}\end{array}\right.$，
故选：D．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．