Question

17．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由性质可得a₆=$\frac{{a}_{5}+{a}_{7}}{2}$=$\frac{26}{2}$=13，从而求得d=2，从而求a_n及S_n；
（2）化简b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），从而求其前n项和即可．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差数列，
∴a₆=$\frac{{a}_{5}+{a}_{7}}{2}$=$\frac{26}{2}$=13，
∴d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}$=$\frac{13-7}{3}$=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=7+2（n-3）=2n+1，
S_n=$\frac{（3+2n+1）}{2}$n=n（n+2）；
（2）由（1）知，
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2（2n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列的性质应用及裂项求和法的应用．