Question

8．在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点，己知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于0．
（1）求B的坐标；
（2）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）画出图形，根据图形设出点B（x，y），且y＞0，利用|AB|=2|OA|与OA⊥AB列出方程组，求出点B的坐标；
（2）求出该圆的圆心与半径，再求圆心关于直线OB的对称点，写出所求圆的方程即可．

解答 解：（1）如图所示，
设点B（x，y），且y＞0，
∵点A（4，-3），
∴|OA|=$\sqrt{{4}^{2}{+（-3）}^{2}}$=5，
又|AB|=2|OA|，
∴$\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y+3）}^{2}}$=2×5①，
又OA⊥AB，∴$\frac{y+3}{x-4}$•$\frac{-3}{4}$=-1②，
由①②组成方程组，化简得$\left\{\begin{array}{l}{{（x-4）}^{2}{+（y+3）}^{2}=100}\\{3（y+3）=4（x-4）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-11}\end{array}\right.$（不合题意舍去），
∴点B的坐标为（10，5）；
（2）求出直线OB方程为：y=$\frac{1}{2}$x，
由条件知圆的标准方程为：（x-3）²+（y+1）²=10，
∴圆心为（3，-1），半径为$\sqrt{10}$；
设圆心C（3，-1）关于直线OB的对称点为C′（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y-1}{2}=\frac{1}{2}•\frac{x+3}{2}}\\{\frac{y+1}{x-3}•\frac{1}{2}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10．

点评 本题是考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了数形结合的解题方法以及转化思想的一样问题，是综合性题目．