Question

16．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）判断直线l与圆C的位置关系；
（3）当m=0时，求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）把直线l的方程化为m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，求出方程组的解即得；
（2）根据圆C的圆心到定点A的距离d＜r，得出A点在圆C内，直线l与圆C相交；
（3）求m=0时圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出直线l被圆C所截得的弦长即可．

解答 解：（1）证明：直线l的方程可化为：
m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线l恒过定点A（3，1）；
（2）圆C：（x-1）²+（y-2）²=25的圆心C（1，2），半径r=5，
点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离d=$\sqrt{{（3-1）}^{2}{+（1-2）}^{2}}$=$\sqrt{5}$＜5=r，
∴A点在圆C内，即直线l与圆C相交；
（3）当m=0时，直线l的方程为x+y-4=0，
由圆心C（1，2）到直线l的距离为d′=$\frac{|1+2-4|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
半径r=5，
∴直线l被圆C所截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}{-d′}^{2}}$=2$\sqrt{{5}^{2}{-（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$=7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了直线与圆相交的性质，以及直线恒过定点的问题，也考查了直线被圆所截得弦长的计算问题，是综合性题目．