Question

6．设△ABC的内角A，B，C 所对的边长分别为a，b，c，$\overrightarrow{m}$=（acosB，bsinA）与$\overrightarrow{n}$=（3，4）共线．
（1）求cosB；
（2）若△ABC的面积S=10，且a=5，求△ABC的周长l．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行列出方程，使用正弦定理将边化角得出tanB；
（2）根据三角形的面积公式求出ac，得出a，c，使用余弦定理求出b．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$共线，
∴4acosB-3bsinA=0，
即4sinAcosB=3sinBsinA．
∴tanB=$\frac{4}{3}$．
∴sinB=$\frac{4}{5}$，cosB=$\frac{3}{5}$．
（2）∵S${\;}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{2}{5}ac$=10，
∴ac=25．
∵a=5，∴c=5．
∴b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=2$\sqrt{5}$．
∴△ABC的周长l=a+b+c=10+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了平面向量的共线表示，正余弦定理解三角形，属于基础题．