Question

14．已知P点是矩形ABCD所在平面内一点，且矩形ABCD的面积为1，$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+2$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$，则$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$的最大值等于（　　）

• A． 5
• B． 5-2$\sqrt{2}$
• C． 5-2$\sqrt{3}$
• D． 5+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{BP}$，设$|\overrightarrow{AB}|=x$，$|\overrightarrow{AD}|=y$，则y=$\frac{1}{x}$．于是$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PD}$可表示为x的函数，利用基本不等式求出最大值．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=0$．
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+2$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$，∴${\overrightarrow{AP}}^{2}=5$，
∵$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}$，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=（$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AP}$）=${\overrightarrow{AP}}^{2}$-$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AP}$=5-$\overrightarrow{AB}•$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+2$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$）-$\overrightarrow{AD}•$（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+2$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$）=5-|$\overrightarrow{AB}$|-2|$\overrightarrow{AD}$|．
设$|\overrightarrow{AB}|=x$，$|\overrightarrow{AD}|=y$，则xy=1，∴y=$\frac{1}{x}$．
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PD}$=5-x-2y=5-（x+$\frac{2}{x}$）≤5-2$\sqrt{2}$．当且仅当x=$\frac{2}{x}$即x=$\sqrt{2}$时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量的线性运算的几何意义，基本不等式，属于中档题．