Question

19．已知函数y=lg（1-2cos2x）
①求函数的最小正周期．
②定义域和值域．
③判断函数的奇偶性．
④求函数的单调区间．

Answer 1

分析 分别根据函数周期性，奇偶性，定义域和值域，单调性的性质分别进行判断即可．

解答 解：①由1-2cos2x＞0，得cos2x＜$\frac{1}{2}$，
∵函数y=1-2cos2x的周期是π，
∴函数y=lg（1-2cos2x）的最小正周期是π．
②由1-2cos2x＞0，得cos2x＜$\frac{1}{2}$，
即$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，
得$\frac{π}{6}$+kπ＜x＜$\frac{5π}{6}$+kπ，即函数的定义域为（$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ），k∈Z，
∵0＜1-2cos2x≤3，
∴lg（1-2cos2x）≤lg3，
即函数的值域为（-∞，lg3]．
③函数的定义域关于原点对称，
则f（-x）=lg（1-2cos2x）=f（x），则函数是偶函数．
④设t=1-2cos2x，当$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x≤2kπ+π，即$\frac{π}{6}$+kπ＜x≤kπ+$\frac{π}{2}$时，v=cos2x为减函数，函数t=1-2v为减函数，而y=lgt为增函数，则此时函数y=lg（1-2cos2x）为增函数，
当2kπ+π≤2x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，即kπ+$\frac{π}{2}$≤x＜$\frac{5π}{6}$+kπ时，函数v=cos2x为增函数，t=1-2v为减函数，而y=lgt为增函数，则此时函数y=lg（1-2cos2x）为减函数，
即函数的减区间为[kπ+$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$+kπ），函数的增区间为（$\frac{π}{6}$+kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查函数性质的综合考查，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．