Question

9．设n∈N^*，试比较3ⁿ和（n+1）！的大小．

Answer 1

分析 归纳猜想，利用数学归纳法即可证明．

解答 解：当n=1时，3＞2！=1×2=2，n=2时，9＞3×2×1，n=3时，27＞4×3×2×1=24，
故当n≤3时，3ⁿ＞（n+1）！，
假设n≥4时，3ⁿ＜（n+1）！，
①n=4时，81＜5×4×3×2×1=120，不等式成立，
②假设当n=k，k≥4时，结论成立，即3^k＜（k+1）！，
那么当n=k+1时，
则3×3^k=3^k+1＜3•（k+1）!＜（k+2）（k+1）!=（k+2）!=（k+1+1）!，
即n=k+1时结论成立，
由①②可得n≥4时，3ⁿ＜（n+1）！，n∈N^*，
综上所述：当n≤3时，3ⁿ＞（n+1）！，当n≥4时，3ⁿ＜（n+1）！．

点评 本题考查了数学归纳法证明不等式成立的问题，以及分类讨论的思想，属于中档题．