Question

7．如图，F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=$\sqrt{5}$，过F作OF的垂线交椭圆于P₀，Q₀两点，△OP₀Q₀的面积为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若过点M（-$\sqrt{5}$，0）的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|=2|MQ|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得c=$\sqrt{5}$，再由弦长$\frac{2{b}^{2}}{a}$，运用直角三角形的面积公式，解方程可得a=3，b=2，进而得到椭圆方程；
（2）设过点M（-$\sqrt{5}$，0）的直线l：x=my-$\sqrt{5}$，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由|PM|=2|MQ|，可得$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MQ}$，运用向量共线的坐标表示，解方程可得直线方程．

解答 解：（1）由题意可得c=$\sqrt{5}$，
将x=c代入椭圆方程可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有△OP₀Q₀的面积为$\frac{1}{2}$|PQ|•c=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
即$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{4}{3}$，且a²-b²=5，
解得a=3，b=2，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）设过点M（-$\sqrt{5}$，0）的直线l：x=my-$\sqrt{5}$，代入椭圆方程，
可得（4m²+9）y²-8$\sqrt{5}$my-16=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
y₁+y₂=$\frac{8\sqrt{5}m}{9+4{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{16}{9+4{m}^{2}}$，
由|PM|=2|MQ|，可得$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MQ}$，
即有-y₁=2y₂，代入韦达定理可得，
m²=$\frac{1}{4}$，可得m=±$\frac{1}{2}$，
故所求直线方程为2x+y+2$\sqrt{5}$=0或2x-y+2$\sqrt{5}$=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用过焦点的弦长公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．