Question

12．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．
（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；
（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；
（Ⅲ）求面积S的最大值．

Answer 1

分析 （I）以抛物线定点为原点建立坐标系，使用待定系数法求出解析式；
（II）设梯形高为h，用x，h表示出C点坐标，代入解析式得出x，h的关系，代入梯形面积公式即可；
（III）利用导数判断S（x）的单调性，根据单调性得出最值．

解答 解：（I）如图，建立直角坐标系xoy，使抛物线的顶点在坐标原点，且抛物线的对称轴在y轴上．
则A（-1，-2 ），B（1，-2），
设抛物线的标准方程为：x²=2py（p＜0）．
∵点B在抛物线上，∴1²=2p•（-2）求得p=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的方程为：${x^2}=-\frac{1}{2}y$．
（II）设梯形的高为 h，∵CD=2 x   则 C（x，-2+h ）．
又点C在抛物线上，∴${x^2}=-\frac{1}{2}（-2+h）$，解得 h=-2x²+2．
∴S（x）=$\frac{1}{2}（2+2x）（-2{x^2}+2）$=2（-x³-x²+x+1）．
定义域为（0，1）．
（III）∵S（x）=2（-x³-x²+x+1）．
∴S′（x）=2（-3x²-2x+1）=-2（3x-1）（x+1）．
令S′（x）=0，解得x=-1（舍）或x=$\frac{1}{3}$．
当0$＜x＜\frac{1}{3}$时，S′（x）＞0，当$\frac{1}{3}＜x＜1$时，S′（x）＜0，
∴S（x）在$（0，\frac{1}{3}）$上为增函数，$（\frac{1}{3}，1）$上为减函数，
∴当x=$\frac{1}{3}$时，面积S取得最大值$S{（\frac{1}{3}）_{max}}$=$\frac{64}{27}$．
答：梯形的面积S的最大值为$\frac{64}{27}$．

点评 本题考查了待定系数法求曲线方程，导数与函数的最值，属于中档题．