Question

20．若函数f（x）=x³+ax²-x在x∈（1，2）上有极值，则实数a的取值范围是（-$\frac{11}{4}$，-1）．

Answer 1

分析 由已知得f′（x）=0有实数根在（1，2），由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x³+ax²-x，
∴f′（x）=3x²+2ax-1，
∵函数f（x）=x³+ax²-x在x∈（1，2）上有极值，
∴f′（x）=3x²+2ax-1=0有两个不相等的实数根，并且至少有一个根在（1，2）．
∴△=4a²+12＞0恒成立，x=$\frac{-2a±\sqrt{4{a}^{2}+12}}{6}$，可得f′（1）•f′（2）＜0，
即：（2+2a）（11+4a）＜0．
∴实数a的取值范围是（-$\frac{11}{4}$，-1）．
故答案为：（-$\frac{11}{4}$，-1）．

点评 本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．