Question

11．已知点A（-1，0），B（1，0）直线AM，BM相交于点M，且k_MA×k_MB=-2．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过定点F（0，1）作直线PQ与曲线C交于P、Q两点，△OPQ的面积是否存在最大值，若存在，求出△OPQ面积的最大值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），由k_MA×k_MB=-2，得$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-2$，由此能求出点M的轨迹C的方程．
（2）由已知当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y=kx+1，与椭圆联立，得（k²+2）x²+2kx-1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△OPQ面积的最大值．

解答 解：（1）解：设M（x，y），（1分）
则${k}_{MA}=\frac{y}{x+1}$，${k}_{MB}=\frac{y}{x-1}$，x≠1，（3分）
∴$\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-2$，
∴点M的轨迹C的方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，x≠±1．（未写范围扣一分）（4分）
（2）由已知当直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程是y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y得（k²+2）x²+2kx-1=0，
∵△=（4k²）+4（k²+2）=8（k²+1）＞0，∴k∈R，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2k}{{k}^{2}+2}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{1}{{k}^{2}+2}$，…（7分）
${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}×|{OF}|×|{{x_1}-{x_2}}|$
=$\frac{1}{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}•{x_2}}=\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{{k^2}+1}}}{{{k^2}+2}}$
=$\sqrt{2}×\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}+\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}}≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（10分）
当且仅当k=0时取等号，…（11分）
△OPQ面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．