Question

6．P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上异于左右顶点A₁，A₂的任意一点，则直线PA₁与PA₂的斜率之积为定值-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A₁，A₂的任意一点，则（　　）

• A． 直线PA₁与PA₂的斜率之和为定值$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$
• B． 直线PA₁与PA₂的斜率之积为定值$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$
• C． 直线PA₁与PA₂的斜率之和为定值$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$
• D． 直线PA₁与PA₂的斜率之积为定值$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$

Answer 1

分析 由已知椭圆的性质类比可得直线PA₁与PA₂的斜率之积为定值$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．然后加以证明即可．

解答 解：设P（x₀，y₀）为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上异于左右顶点A₁，A₂的任意一点，
则A₁（-a，0），A₂（a，0），
∴${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}=\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}$，
又P（x₀，y₀）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上，
∴${{y}_{0}}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}）$，
∴${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{a}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴直线PA₁与PA₂的斜率之积为定值$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题．