Question

15．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的点到直线x-y+3$\sqrt{5}$=0的距离的最小值是$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 设与直线x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直线方程为：x-y+c=0，与椭圆方程联立，消元，令△=0，可得c的值，求出两条平行线间的距离，即可求得椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1一点P到直线x-y+3$\sqrt{5}$=0的距离最小值．

解答 解：设与直线x-y+3$\sqrt{5}$=0平行的直线方程为：x-y+c=0，与椭圆方程联立，消元可得5x²+8cx+4c²-4=0
令△=64c²-20（4c²-4）=0，可得c=±$\sqrt{5}$，
∴两条平行线间的距离为$\frac{|±\sqrt{5}-3\sqrt{5}|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{10}$或$\sqrt{10}$，
∴椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的点到直线x-y+3$\sqrt{5}$=0的距离的最小值是：$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出与直线x-y+3$\sqrt{5}$=0平行，且与椭圆相切的直线方程．