Question

3．已知过点A（0，2）的直线l与椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1交于P，Q两点．
（Ⅰ）若直线l的斜率为k，求k的取值范围；
（Ⅱ）若以PQ为直径的圆经过点E（1，0），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设出直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0求得k的取值范围；
（Ⅱ）设出P、Q的坐标，利用根与系数的关系得到P、Q的横坐标的和与积，结合以PQ为直径的圆经过点E（1，0），由$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QE}=0$求得k值，则直线方程可求．

解答 解：（Ⅰ）由题意可设直线l的方程为y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0，
由△=（12k）²-36（1+3k²）=36k²-36＞0，
解得k＜-1或k＞1．
∴k的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则由（Ⅰ）得：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-12k}{1+3{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
又E（1，0），
∴$\overrightarrow{PE}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}），\overrightarrow{QE}=（1-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，
由题意可知，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QE}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（1-{x}_{2}，-{y}_{2}）$
=1-x₁-x₂+x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5
=$（1+{k}^{2}）•\frac{9}{1+3{k}^{2}}-（2k-1）•\frac{12k}{1+3{k}^{2}}+5$=$\frac{12k+14}{1+3{k}^{2}}=0$，
解得：k=-$\frac{7}{6}$，满足k＜-1．
∴直线l的方程为y=-$\frac{7}{6}x+2$，即7x+6y-12=0．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．