Question

8．以椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的四个顶点为顶点的四边形的四条边与⊙O：x²+y²=1共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若直线l与⊙O相切，且与椭圆M相交于P，Q两点，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，从而得到a=$\sqrt{3}$，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，此时|PQ|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，由直线l与⊙O相切，得m²=1+k²，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出|PQ|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）如图，依题意，A（0，1），B（a，0），∠OAB=60°，
∵tan∠OAB=$\frac{|BO|}{|AO|}$，∴$\sqrt{3}=\frac{a}{1}$，∴a=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=±1，
代入$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$，得y=$±\frac{\sqrt{6}}{3}$，此时|PQ|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
∵直线l与⊙O相切，∴$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即m²=1+k²，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y，整理，得（1+3k²）x²+6kmx+3（m²-1）=0，
△=36k²m²-12（1+3k²）（m²-1）=12（13k²-m²）=24k²，
由△＞0，得k≠0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3（{m}^{2}-1）}{1+3{k}^{2}}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}|k|}{1+3{k}^{2}}$．
∴|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{2\sqrt{6}|k|}{1+3{k}^{2}}$
=$2\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）•2{k}^{2}}}{1+3{k}^{2}}$
≤2$\sqrt{3}$•$\frac{\frac{（1+{k}^{2}）+2{k}^{2}}{2}}{1+3{k}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴当且仅当1+k²=2k²，即k=±1时，|PQ|取得最大值$\sqrt{3}$．
综上所述，|PQ|的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．