Question

13．已知椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（-2，0），一定点为P（-8，0）．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过P的直线与椭圆交于P₁，P₂两点，求△P₁F₂F面积的最大值及此时直线的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（-2，0），求出a，c，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设过P的直线为y=k（x+8），与椭圆联立，得（3+4k²）x²+64k²x+256k²-48=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△P₁F₂F面积的最大值及此时直线的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（-2，0），一定点为P（-8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{2c}=\frac{2}{1}}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得a=4，b²=16-4=12，
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）设过P的直线为y=k（x+8）交椭圆E于P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+8）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+64k²x+256k²-48=0，
由题意△＞0，解得-$\frac{1}{2}＜k＜\frac{1}{2}$，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{64{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{256{k}^{2}48}{3+4{k}^{2}}$，
点F到直线P₁P₂的距离为d=$\frac{6|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，且|P₁P₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|，
∴△P₁P₂F的面积S=$\frac{1}{2}$|P₁P₂|•d=3|k||x₁-x₂|
=3|k|$\sqrt{（-\frac{64{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{256{k}^{2}-48}{3+4{k}^{2}}}$
=72|k|$\sqrt{\frac{1-4{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$
=72$\sqrt{\frac{-4{k}^{4}+{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
令3+4k²=t（3≤t＜4），得：
S=36$\sqrt{-12（\frac{1}{t}）^{2}+7•\frac{1}{t}-1}$，（$\frac{1}{4}＜\frac{1}{t}≤\frac{1}{3}$），
∴当$\frac{1}{t}=\frac{7}{24}$时，S取最大值为3$\sqrt{3}$．
由3+4k²=$\frac{24}{7}$，解得k=±$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴当过P点的直线斜率为$±\frac{\sqrt{21}}{14}$时，△P₁F₂F面积取最大值3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值及其求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．