Question

18．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）上总存在点P，使$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，F₁、F₂为椭圆的焦点，那么椭圆离心率e的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}-1$）
• B． [$\sqrt{2}-1，\frac{1}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$）

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，可得PF₁⊥PF₂，P在以F₁F₂为直径的圆上，由题意可得半径为c的圆与椭圆有交点，即为
c≥b，运用离心率公式和不等式的解法，即可得到所求范围．

解答 解：由$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}=0$，可得
PF₁⊥PF₂，P在以F₁F₂为直径的圆上，
可设圆的半径为c，圆心为O，
由题意可得椭圆与圆均有交点，
则c≥b，即c²≥b²=a²-c²，
即为c²≥$\frac{1}{2}$a²，
e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且0＜e＜1，
可得e的范围是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的离心率的范围，考查向量垂直的条件，运用圆与椭圆有交点是解题的关键，属于中档题．