Question

20．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，数列{2ⁿa_n}的前n项和为S_n
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据所给的等差数列的三个连续奇数项，得到数列的公差，写出数列的通项，以及根据求和公式即可求出．
（2）根据数列的前n项和公式，求出S_n=n²，继而求出b_n=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），根据裂项求和得到数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（1）∵等差数列a_n满足：a₃=7，a₅+a₇=26，
∴a₃+a₅+a₇=33，
∴a₅=11
∴d=$\frac{11-7}{2}$=2
∴a_n=2n+1，
∴a₁=3
∴S_n=3×2¹+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ，
∴2S_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）2ⁿ+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=3×2¹+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）2ⁿ⁺¹=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$-（2n+1）2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（2n-1）2ⁿ⁺¹，
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．