Question

10．已知sinθ与cosθ是方程6x²-5x+m=0的两根，求m和sin³θ+cos³θ的值．

Answer 1

分析 根据根与系数之间的关系，结合同角的三角函数关系进行化简求解即可．

解答 解：∵sinθ与cosθ是方程6x²-5x+m=0的两根，
∴sinθ+cosθ=$\frac{5}{6}$，sinθcosθ=$\frac{m}{6}$，
即（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ=$\frac{25}{36}$，
即1+$\frac{m}{3}$=$\frac{25}{36}$，
得m=$\frac{11}{12}$，即sinθcosθ=$\frac{m}{6}$=$\frac{11}{72}$，
则sin³θ+cos³θ=（sinθ+cosθ）（sin²θ+cos²θ-sinθcosθ）
=$\frac{5}{6}$×（1-$\frac{11}{72}$）=$\frac{5}{6}$×$\frac{61}{72}$=$\frac{305}{432}$．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据同角的三角函数关系以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．