Question

1．已知正实数a，b，c满足a+2b+c=1，$\frac{1}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$的最小值为9．

Answer 1

分析 由题意可得（a+b）+（b+c）=1，代入并分离常数可得原式=$\frac{b+c}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$+1，由基本不等式可得．

解答 解：∵正实数a，b，c满足a+2b+c=1，
∴（a+b）+（b+c）=1，
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$=$\frac{a+b+b+c}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$
=1+$\frac{b+c}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$≥1+2$\sqrt{\frac{b+c}{a+b}•\frac{16（a+b）}{b+c}}$=9，
当且仅当$\frac{b+c}{a+b}$=$\frac{16（a+b）}{b+c}$即a+b=$\frac{1}{5}$且b+c=$\frac{4}{5}$时取等号，故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．