Question

16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点．
①若直线l过椭圆C的右焦点，记△ABP三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值；
②若直线l的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，试探究OA²+OB²是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆过点P（1，$\frac{3}{2}$），离心率为$\frac{1}{2}$，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）①设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆，得（3m²+4）y²+6my-9=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出t的最大值．
②设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+n$，代入椭圆，得$3{x}^{2}+2\sqrt{3}nx+2{n}^{2}-6=0$，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出OA²+OB²为定值．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点P（1，$\frac{3}{2}$），离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）①设直线l的方程为x=my+1，直线l与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
△=36m²+36（3m²+4）＞0，
${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
∴k_AP•k_BP=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}-\frac{3}{2}}{m{y}_{1}}•\frac{{y}_{2}-\frac{3}{2}}{m{y}_{2}}$=$\frac{1}{{m}^{2}}•\frac{{y}_{1}{y}_{2}-\frac{3}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）+\frac{9}{4}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{1}{m}-\frac{3}{4}$，
∴t=k_AB•k_AP•k_BP=-$\frac{1}{{m}^{2}}-\frac{3}{4m}$=-（$\frac{1}{m}+\frac{3}{8}$）²+$\frac{9}{64}$，
∴当m=-$\frac{8}{3}$时，t有最大值$\frac{9}{64}$．
②设直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+n$，直线l与椭圆C的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+n}\end{array}\right.$，得$3{x}^{2}+2\sqrt{3}nx+2{n}^{2}-6=0$，
$△=（2\sqrt{3}n）^{2}-4×3（2{n}^{2}-6）＞0$，
即$-\sqrt{6}＜n＜\sqrt{6}$，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2\sqrt{3}n}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{n}^{2}-6}{3}$，
$O{A}^{2}+O{B}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$
=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+$（$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{1}$+n）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{2}$+n）²
=$\frac{7}{4}（{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}）+\sqrt{3}n（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{n}^{2}$
=$\frac{7}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-\frac{7}{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}n（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{n}^{2}$
=$\frac{7}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-\frac{7}{2}{x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{3}n$（x₁+x₂）+2n²
=$\frac{7}{4}（-\frac{2\sqrt{3}}{3}n）^{2}-\frac{7}{2}（\frac{2{n}^{2}-6}{3}）+\sqrt{3}n$$（-\frac{2\sqrt{3}}{3}n）+2{n}^{2}$=7．
∴OA²+OB²为定值7．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查实数的最大值的求法，考查代数式的值是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、椭圆性质的合理运用．