Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45°，AP=AD=AC=2，E、F、H分别为PA、CD、PF的中点．
（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；
（Ⅱ）求证：AH⊥面EDC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可证DC⊥BC，又AB⊥BC，可得AB∥CD，根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；
（Ⅱ）连接AF，EH，连接EF交AH与G，利用CD⊥AF，CD⊥PA，可证CD⊥平面PAF，从而证明CD⊥AH．在△PAF中，通过证明AG²+GF²=AF²，可证得AH⊥EF，即可证明AH⊥平面EDC．

解答 （本题满分为12分）
证明：（Ⅰ）在四边形ABCD中，∵AC⊥AD，AD=AC=2

∴∠ACD=45°，
∵∠BCA=45°，∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=90°，DC⊥BC，
又∵AB⊥BC，∴AB∥CD，…2分
∵CD?面PAB，AB?面PAB，
∴CD∥面PAB，…4分
∵CD?面PCD，面PAB∩面PCD=l，
∴根据线面平行的性质得CD∥l．…6分
（Ⅱ）连接AF，EH，连接EF交AH与G，
∵F为CD的中点，AD=AC，∴CD⊥A
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA，
∵PA∩AF=A，∴CD⊥平面PAF，
∵AH?平面PAF，
∴CD⊥AH．…8分
如图，在△PAF中，∵AC⊥AD，AD=AC=2，∴CD=2$\sqrt{2}$，
∵F为CD的中点，∴AF=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{2}$，
∵PA⊥平面ABCD，AF?平面ABCD，∴PA⊥AF．
∵E为PA的中点，∴AE=1，∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵E，H为PA，PF的中点，∴EH∥AF，EH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EH⊥PA，∴AH=$\sqrt{A{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵EH∥AF，∴△EHG∽△FAG，
∴$\frac{HG}{AG}=\frac{EG}{GF}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{2}$，∴AG=$\frac{2}{3}$AH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，GF=$\frac{2}{3}$EF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AG²+GF²=AF²，
∴AG⊥GF，即AH⊥EF，…11分
∵EF∩CD=F，
∴AH⊥平面EDC．…12分

点评 本小题主要考查线面平行的性质，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大，属于中档题．