Question

18．已知椭圆的焦点是F₁、F₂，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F₁P的中点，则动点M的轨迹是（　　）

• A． 圆
• B． 椭圆
• C． 双曲线的一支
• D． 抛物线

Answer 1

分析 设P（acosθ，bsinθ），由F₁（-c，0），知线段PF₁的中点M（$\frac{2cosθ-c}{2}$，$\frac{bsinθ}{2}$），由此求出线段PF₁的中点M的轨迹是椭圆．

解答 解：由题意的参数方程可设P（acosθ，bsinθ），
∵F₁（-c，0），∴线段PF₁的中点M（$\frac{2cosθ-c}{2}$，$\frac{bsinθ}{2}$），
∴x=$\frac{2cosθ-c}{2}$，y=$\frac{bsinθ}{2}$，
∴cosθ=$\frac{2x+c}{a}$，sinθ=$\frac{2y}{b}$，
∴点P的轨迹方程为$\frac{（2x+c）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{4{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
∴线段PF₁的中点M的轨迹是椭圆．
故选：B．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．