Question

8．已知圆C的方程为（x-1）²+y²=1，P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一点，过点P作图C的两条切线，切点为A，B，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值是2$\sqrt{2}$-3．

Answer 1

分析 设∠APB=2θ，令|$\overrightarrow{PC}$|²=x，由向量数量积公式得到$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x+$\frac{2}{x}$-3，由此能求出$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值．

解答 解：如图所示，设∠APB=2θ，
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos2θ
=|$\overrightarrow{PA}$|²（2cos²θ-1）
=|$\overrightarrow{PA}$|²（2$\frac{|\overrightarrow{PA}{|}^{2}}{|\overrightarrow{PC}{|}^{2}}$-1），
令|$\overrightarrow{PC}$|²=x，得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=x+$\frac{2}{x}$-3，
∵x∈（1，9]，∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≥2$\sqrt{2}$-3，
当且仅当x=$\sqrt{2}$时，取等号，
故$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$的最小值是2$\sqrt{2}$-3．

点评 本题考查向量的数量积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．