Question

19．已知$\left\{{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≥-1}\\{2x-y≤2}\end{array}}\right.$，若目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）最大值为12，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由已知利用线性规划可得a+b=1，而$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）展开后利用基本不等式即可求解

解答 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
由直线4ax+3by=z（a＞0，b＞0）可得y=-$\frac{4a}{3b}$x+$\frac{z}{3b}$，
则$\frac{z}{3b}$表示直线在y轴截距，截距越大z越大，
由a＞0，b＞0可得-$\frac{4a}{3b}$＜0，
∴直线4ax+3by=Z过点B时，目标函数有最大值，
由 $\left\{\begin{array}{l}{2x-y=2}\\{x-y=-1}\end{array}\right.$可得B（3，4），
此时目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即12a+12b=12，即a+b=1而$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥4，
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值4，
故选：C．

点评 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．